Geometría compleja y torcida de viajes de ida y vuelta

Alguna vez has tenido ¿Alguna vez se preguntó cómo sería la vida si la tierra no tuviera forma esférica? Consideramos el delicado viaje a través de puestas de sol sin fisuras a través del sistema solar y la simetría rotacional del planeta. También facilita la búsqueda de la salida más rápida de un punto terrestre redondo. Indicar segundo: Viaja a lo largo del círculo que pasa por esos dos puntos y corta la esfera por la mitad. Usamos estas pequeñas rutas llamadas geodésicas para planificar rutas aéreas y órbitas de satélites.

¿Y si viviéramos en un cubo? Nuestro mundo se vuelve cada vez más inestable, nuestros rangos están torcidos y nuestros pequeños caminos son difíciles de encontrar. Puede que no pases mucho tiempo pensando en la vida en un cubo, pero los matemáticos hacen esto: estudian cómo es viajar en todo tipo de formas diferentes. Y un Descubrimiento reciente Acerca de los viajes de ida y vuelta en dodecaedro, hemos cambiado la forma en que miramos un objeto que ha existido durante miles de años.

Encontrar el viaje de ida y vuelta más corto en una forma determinada puede parecer como elegir una dirección y caminar en línea recta. Eventualmente, regresa a donde comenzó, ¿verdad? Bueno, depende de la forma que estés corriendo. Si es una esfera, sí. (Y sí, ignoramos el hecho de que la tierra no es una esfera perfecta y que su superficie no es perfectamente lisa). En una esfera, las trayectorias lineales siguen “grandes círculos”, que son geodésicas ecuatoriales. Si gira alrededor del ecuador, después de aproximadamente 25,000 millas llegará a un círculo completo y regresará a donde comenzó.

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En un mundo cúbico, las geodésicas son menos obvias. Es fácil encontrar una línea recta en una sola cara porque cada cara es plana. Si giras alrededor de un mundo cúbico, ¿cómo te mantienes “derecho” cuando alcanzas un borde?

Hay un viejo problema matemático divertido que explica la respuesta a nuestra pregunta. Sostén una hormiga g en una esquina de un cubo. ¿Cuál es la forma más pequeña de llegar a la superficie del cubo? A segundo?

Puedes imaginar diferentes formas de tomar la hormiga.

Ilustración: Samuel Velasco / Quanta Magazine

¿Pero cuál es más pequeño? Existe una técnica ingeniosa para solucionar el problema. ¡Aplanamos el cubo!

Si el cubo está hecho de papel, puedes cortar los bordes y aplanarlo para obtener una “red” similar.

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